\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{ctex}
\usepackage{makecell}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}

\begin{document}

\section{什么是场}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{field}
	\caption{场示意图：a. 标量场 b.向量场}
	\label{fig:field}
\end{figure}

\subsection{标量场}
\footnote{本文使用AI辅助}
抛开物理里令人生畏的描述不谈，数学上对“场”的描述还是非常简单的。
如果在（一定区域内的）空间每一点处，我们都可以描述该点处的某一标量物理量，那么这就符合函数定义中的“对应关系”，
于是我们就可以定义一个标量场：
\begin{equation}
	f = f(x,y,z,t)= f(\bvec r, t)
\end{equation}
其中$\bvec r = (x,y,z)^T$是位矢，用以简写空间坐标。
在生活生产中，标量场有多种应用：
\begin{itemize}
	\item 温度场：温度场描述了空间中各处的温度。
	比如我们用烤盘时，我们会情不自禁地发现“烤盘中心的温度高、边缘的温度低”。我们实则就描述了烤盘上的“温度场”$T=T(\bvec r,t)$。
	\item 高度场：高度场可用于描述某一表面各处的高度。我们说表面“这边高那边低”，就是描述表面的高度场 $h = h(\bvec r)$。
	\item 势场：在物理中，势场是一个描述空间中每一点势的标量场。
	\item ...
\end{itemize}

\subsection{向量场}
如果把上文中的“标量”换成“向量”，那么我们就顺理成章地引入了向量场：
\begin{equation}
	\bvec f = \bvec f(\bvec r, t)
\end{equation}
一个向量场可以看作三个标量场的耦合：
\begin{equation}
	\bvec f = \matrx{f_x \\ f_y \\ f_z}, \qquad 
	\left \{
	\begin{aligned}
		f_x &= f_x(\bvec r, t)=f_x(x,y,z,t) \\ 
		f_y &= f_y(\bvec r, t)=f_y(x,y,z,t)  \\ 
		f_z &= f_z(\bvec r, t)=f_z(x,y,z,t) 
	\end{aligned}
	\right.
\end{equation}
此处下标表示分量，例如$f_x$表示$\bvec f$在$x$方向上的分量，而非求导。
可以看出，向量场比标量场复杂得多。
一些著名的向量场莫过于电场$\bvec E = \bvec E(\bvec r, t)$与磁场$\bvec B = \bvec B(\bvec r, t)$。

\newpage

\section{标量场微积分}
一旦定义了标量场，就可以喜闻乐见地求标量场的各种微积分。
\subsection{偏微分}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{deriv}
	\caption{偏微分示意图}
	\label{fig:deriv}
\end{figure}

我们首先简要回顾标量场的偏微分：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\frac{\partial f}{\partial t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(x, y, z, t + \Delta t) - f(x, y, z, t)}{\Delta t}\\
		\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y, z, t) - f(x, y, z, t)}{\Delta x}\\
		\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y, z, t) - f(x, y, z, t)}{\Delta y}\\
		\frac{\partial f}{\partial z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(x, y, z + \Delta z, t) - f(x, y, z, t)}{\Delta z}\\
	\end{aligned}
\end{equation}
注意这里有一个小细节：求偏导数时我们应只改变一个变量的值。
比如说，在求$\pdv{f}{x}$时，我们只改变$x$，而保持其余$y,z,t$不变。
这个非常微妙的细节贯穿于整个微积分与其物理运用。

\subsection{全微分}
那么，$f$的全微分是
\begin{equation}
	\dd f = \frac{\partial f}{\partial x} \dd x + \frac{\partial f}{\partial y} \dd y + \frac{\partial f}{\partial z} \dd z + \frac{\partial f}{\partial t} \dd t
\end{equation}
全微分的另一种含义是，
\begin{equation}
	f(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z, t+\Delta t)
	\approx
	f(x,y,z,t)
	+ \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x 
	+ \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y 
	+ \frac{\partial f}{\partial z} \Delta z
	+ \frac{\partial f}{\partial t} \Delta t
\end{equation}
这相当于$f$的一阶 Taylor 展开，可用于线性估算$f$在空间与时间某一处$(x,y,z,t)$“附近”$(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z, t+\Delta t)$的值。
Thomas称其为“局部线性化”。

\subsection{积分}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{integtal}
	\caption{标量场体积分示意图}
	\label{fig:integtal}
\end{figure}

然后是积分：
\begin{equation}
	\int_V f(x,y,z,t) \dd V
	= \lim_{\Delta V_k \to 0} \sum_k f(x_k, y_k, z_k, t) \Delta V_k
\end{equation}
我们想象把空间$V$切成很多小块$\Delta V_k$，那么在每一小块内标量场$f$的值近似处处相同（当然，在不同小块内，$f$的值不同），
那么标量场的积分就是累和所有的 $f \Delta V_k$。

比如说$\rho=\rho(\bvec r)$是密度场，那么$\Delta m_k = f(\bvec r_k) \Delta V_k$的含义相当于一个小块的质量，
$\sum_k f \Delta V_k$就相当于所有小块的质量，即物体的总体质量。

\newpage
\section{向量场微分}
原则上说，我们可以定义向量场的微分，这相当于对每一个分量分别求微分，最终的结果仍然是一个向量场：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\frac{\partial \bvec f}{\partial t} &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\bvec f(x, y, z, t + \Delta t) - \bvec f(x, y, z, t)}{\Delta t} = (\pdv{ f_x}{t},\pdv{ f_y}{t},\pdv{ f_z}{t})^T\\
		\frac{\partial \bvec f}{\partial x} &= (\pdv{ f_x}{x},\pdv{ f_y}{x},\pdv{ f_z}{x})^T\\
		\frac{\partial \bvec f}{\partial y} &= (\pdv{ f_x}{y},\pdv{ f_y}{y},\pdv{ f_z}{y})^T\\
		\frac{\partial \bvec f}{\partial z} &= (\pdv{ f_x}{z},\pdv{ f_y}{z},\pdv{ f_z}{z})^T\\
	\end{aligned}
\end{equation}

\newpage
\section{标量场曲线-曲面积分（第一类曲线-曲面积分）}
首先我们简要讨论标量场中的曲线-曲面积分，在中文教材中常常被称为第一类曲线-曲面积分。
我们假定我们的场是不含时的$f = f(x,y,z)$。
这需要一点曲线长度和曲面面积积分的计算的知识，可以参考隔壁笔记。

\subsection{标量场线积分}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{scalarint1}
	\caption
	{
		标量场线积分示意图。
		a. 曲线$C$与场$f$；
		b. 参数空间$\tau$-几何空间$xyz$；
	}
	\label{fig:scalarint1}
\end{figure}

首先我们讨论标量场中的线积分，即
\begin{equation}
	I = \int_C f(x,y,z) \cdot \abs{\dd {\bvec r}}
\end{equation}
其中$C$代表一条曲线，其形状由如下等式与参数$\tau$确定：
\begin{equation}
	C: \bvec r(\tau) = (x(\tau),y(\tau),z(\tau))^T, \tau \in (\tau_0, \tau_1)
\end{equation}
他的切向量（未归一化）：
\begin{equation}
	\dv{\bvec r}{\tau} = (x'(\tau),y'(\tau),z'(\tau))^T
\end{equation}
其模长(注意仍是关于$\tau$的函数)：
\begin{equation}
	\abs{\dv{\bvec r}{\tau}} = \sqrt{x'(\tau)^2 + y'(\tau)^2 + z'(\tau)^2}
\end{equation}
我们将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$\tau$进行，这引入了一个“比例系数”（就是$\abs{\dv{\bvec r}{\tau}} $）：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		I & = \int_C f(x,y,z) \cdot \abs{\dd {\bvec r}} \\
		& = \int_{\tau_0}^{\tau_1} f(x(\tau),y(\tau),z(\tau)) \cdot \abs{\dv{\bvec r}{\tau}} \dd \tau \\
		& = \int_{\tau_0}^{\tau_1} f(x(\tau),y(\tau),z(\tau)) \sqrt{x'(\tau)^2 + y'(\tau)^2 + z'(\tau)^2}  \dd \tau
	\end{aligned}
\end{equation}
$f=f(x(\tau),y(\tau),z(\tau)) $意味着，
我们需要结合场的表达式$f=f(x,y,z)$与曲线的定义$C: (x(\tau),y(\tau),z(\tau))^T$，
从而写出$f=f(\tau)$。

\newpage
\subsection{标量场面积分}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{scalarint2}
	\caption
	{
		标量场面积分示意图。
		a. 曲面$A$与场$f$；
		b. 参数空间$\tau$-几何空间$xyz$；
	}
	\label{fig:scalarint2}
\end{figure}

接下来我们讨论标量场中的面积分，即
\begin{equation}
	I = \int_A f(x,y,z) \cdot \dd {A}
\end{equation}
其中$A$代表一个曲面，其形状由如下等式与参数$u,v$确定：
\begin{equation}
	A: \bvec r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))^T
\end{equation}
此外
\begin{equation}
	\pdv{\bvec r}{u} = (\pdv{x}{u},\pdv{y}{u},\pdv{z}{u})^T,
	\pdv{\bvec r}{v} = (\pdv{x}{v},\pdv{y}{v},\pdv{z}{v})^T,
\end{equation}
我们将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$u,v$进行，这引入了一个“比例系数”：
\begin{equation}
	I = \int_A f(x,y,z) \cdot \dd {A} = \int_A f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \abs{\pdv{\bvec r}{u}\times\pdv{\bvec r}{v}} \dd u \dd v
\end{equation}
其中我们依然有$f=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=f_x(u,v)$，需要结合场的表达式$f=f(x,y,z)$与曲面的定义$A: \bvec r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))^T$复合得到。

\newpage
\section{向量场曲线-曲面积分（第二类曲线-曲面积分）}
\footnote{参考：
Thomas《微积分》，
OpenStack Vector Calculus
}
接下来我们简要讨论向量场积分，在中文教材中常常被称为第二类曲线-曲面积分。
我们假定我们的场是不含时的$\bvec f = \bvec f(x,y,z)$。
向量场的积分非常繁琐，但是原则上整个过程与标量场的积分过程类似。

\subsection{向量场线积分}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{int1}
	\caption
	{
		向量场线积分示意图。
		a. 曲线$C$与场$\bvec f$；
		b. 参数空间$\tau$-几何空间$xyz$；
	}
	\label{fig:int1}
\end{figure}

首先我们讨论向量场中的线积分，即
\begin{equation}
	I = \int_C \bvec f \cdot \dd {\bvec r}
\end{equation}
其中$C$代表一条曲线，其形状由如下等式与参数$\tau$确定：
\begin{equation}
	C: \bvec r(\tau) = (x(\tau),y(\tau),z(\tau))^T, \tau \in (\tau_0, \tau_1)
\end{equation}
他的切向量（未归一化）：
\begin{equation}
	\dv{\bvec r}{\tau} = (x'(\tau),y'(\tau),z'(\tau))^T
\end{equation}
我们将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$\tau$进行，这引入了一个“比例系数”：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		I & = \int_C \bvec f \cdot \dd {\bvec r} \\
		& = \int_{\tau_0}^{\tau_1} \bvec f \cdot \dv{\bvec r}{\tau} \dd \tau \\
		& = \int_{\tau_0}^{\tau_1} (f_x x' + f_y y' + f_z z') \dd \tau
	\end{aligned}
\end{equation}
其中同样有 $f_x=f_x(x(\tau),y(\tau),z(\tau)) = f_x(\tau)$等。

\newpage
\subsection{向量场面积分}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{int2}
	\caption
	{
		向量场面积分示意图。
		a. 曲面$\bvec A$与场$\bvec f$；
		b. 参数空间$uv$-几何空间$xyz$；
	}
	\label{fig:int2}
\end{figure}

接下来我们讨论向量场中的面积分，即
\begin{equation}
	I = \int_A \bvec f \cdot \dd {\bvec A} = \int_A \bvec f \cdot \hat n \dd {A} 
\end{equation}
其中$A$代表一个曲面，其形状由如下等式与参数$u,v$确定：
\begin{equation}
	A: \bvec r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))^T
\end{equation}
这个面的法向量是
\begin{equation}
	\hat n = \frac{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}}{\abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}}}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
	\pdv{\bvec r}{u} = (\pdv{x}{u},\pdv{y}{u},\pdv{z}{u})^T,
	\pdv{\bvec r}{v} = (\pdv{x}{v},\pdv{y}{v},\pdv{z}{v})^T,
\end{equation}
我们将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$u,v$进行，这引入了一个“比例系数”：
%在参数空间中，小面积为$\dd A =\dd u \cdot \dd v$；
%而在几何空间中，对应的小面积为$\dd A = \abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}} \dd u \dd v$,
%因此转换后需要补充一个系数：
\begin{equation}
	I = \int_A \bvec f \cdot \hat n \dd {A} = \int_A \bvec f \cdot \hat n \abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}} \dd u \dd v
\end{equation}
而这个系数刚好又和$n$的归一化系数相同而被约去，因此，
\begin{equation}
	I = \int \bvec f \cdot \hat n \abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}} \dd u \dd v
	= \int \bvec f \cdot (\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}) \dd u \dd v
\end{equation}
其中同样有 $f_x=f_x(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=f_x(u,v)$等。


\end{document}
